Question

已知f0(x)=x•ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）．
（Ⅰ）請寫出f_n（x）的表達式（不需證明）；
（Ⅱ）設f_n（x）的極小值點為P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）設gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，試求a-b的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）fn(x)=(x+n)•ex（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）∵fn′(x)=(x+n+1)•ex，
∴當x＞-（n+1）時，fn′(x)＞0；當x＜-（n+1）時，fn′(x)＜0．
∴當x=-（n+1）時，f_n（x）取得極小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
即yn=-e-(n+1)（n∈N^*）．…（8分）
（Ⅲ） 解法一：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），則h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1）．…（10分）
∵h'（x）在[0，+∞）單調遞增，∴h'（x）≥h'（0）=-6-e^-1，
∵h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h'（x₀）=0．…（12分）
∵h'（x）在[0，+∞）單調遞增，
∴當0≤x＜x₀時，h'（x₀）＜0；當x＞x₀時，h'（x₀）＞0，
即h（x）在[x₀，+∞）單調遞增，在[0，x₀）單調遞減，
∴（h（x））_min=h（x₀），
又∵h（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，h（4）＞h（3），
∴當n=3時，a-b取得最小值e^-4．…（14分）
解法二：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令cn=(n-3)2+e-(n+1)，
則cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，…（10分）
當n≥3時，cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，又因為n≥3，所以2n-5≥1，

1

en+2

＞0，0＜

1

en+1

＜1，所以2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，所以c_n+1＞c_n．…（12分）
又c1=4+

1

e2

，c2=1+

1

e3

，c3=

1

e4

，c₁＞c₂＞c₃，
∴當n=3時，a-b取得最小值e^-4．…（14分）