Question

1．已知在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}\right.$（t是參數），以原點O 為極點，O x為極軸建立極坐標系，圓C 的極坐標方程為$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（1）求直線l的普通方程和圓心C 的直角坐標；
（2）由直線l上的點向圓C引切線，求切線長的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，即可求直線l的普通方程和圓心C 的直角坐標；
（2）圓C的半徑r=1，求出圓心到直線的距離，即可求切線長的最小值．

解答 解：（1）直線l的普通方程為$y=x+4\sqrt{2}$；
又$ρ=2cos（θ+\frac{π}{4}）$，${ρ^2}=\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$
∴圓C的普通方程為${x^2}+{y^2}=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y$，即${x^2}+{y^2}-\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=0$
圓心C的直角坐標為 $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$；
（2）圓C的半徑r=1，圓心到直線的距離$d=\frac{{|\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}+4\sqrt{2}|}}{{\sqrt{2}}}=5$
∴切線長的最小值為$\sqrt{{d^2}-{r^2}}=\sqrt{{5^2}-{1^2}}=\sqrt{6×4}=2\sqrt{6}$．

點評 本題考查三種方程的互化，考查直線與圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．