Question

已知函數f(x)＝(a＋1)lnx＋ax²＋1.

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)設a<－1.如果對任意x₁，x₂∈(0，＋∞)，|f(x₁)－f(x₂)|≥4|x₁－x₂|，求a的取值范圍．

Answer 1

解：(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)．

f′(x)＝＋2ax＝.

當a≥0時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；

當a≤－1時，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞減；

當－1<a<0時，令f′(x)＝0，解得x＝ .

則當x∈(0, )時，f′(x)>0；

x∈( ，＋∞)時，f′(x)<0.

故f(x)在(0, )上單調遞增，在( ，＋∞)上單調遞減．

(2)不妨假設x₁≥x₂.而a<－1，

由(1)知f(x)在(0，＋∞)上單調遞減，

從而∀x₁，x₂∈(0，＋∞)，

|f(x₁)－f(x₂)|≥4|x₁－x₂|等價于∀x₁，x₂∈(0，＋∞)，f(x₂)＋4x₂≥f(x₁)＋4x₁.①

令g(x)＝f(x)＋4x，則g′(x)＝＋2ax＋4.

①等價于g(x)在(0，＋∞)上單調遞減，

即＋2ax＋4≤0在(0，＋∞)上恒成立．

從而a≤＝＝－2.

故a的取值范圍為(－∞，－2]．