Question

8、已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，則f（2010）的值為

0

．

Answer 1

分析：由函數f（x）是定義在R上的奇函數，且對任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立，我們不難得到函數f（x）是一個周期函數，而且我們可以求出它的最小正周期T，根據周期函數的性質，我們易求出f（2010）的值．

解答：解：∵對任意x∈R有f（x）=f（2-x）成立
∴函數f（x）的圖象關于直線x=1對稱
又∵函數f（x）是定義在R上的奇函數
∴函數f（x）是一個周期函數
且T=4
故f（2010）=f（0）
又∵定義在R上的奇函數其圖象必過原點
∴f（2010）=0
故答案為：0

點評：點評：利用函數的周期性解題要注意：對于任意實數x，①若f（x+T）=f（x），則T為函數的周期；②若f（x+T）=-f（x），則2T為函數的周期；③若（a，y），（b，y）分別為函數的兩個對稱中心則T=2|（a-b）|④對于任意$x∈R，f（x+1）=\frac{1-f（x）}{1+f（x）}$，則T=2⑤若（a，y）為函數的對稱中心，x=b為函數的對稱軸，則T=4|（a-b）|