Question

【題目】過橢圓： 上一點向軸作垂線，垂足為右焦點， 、分別為橢圓的左頂點和上頂點，且， .

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若動直線與橢圓交于、兩點，且以為直徑的圓恒過坐標原點.問是否存在一個定圓與動直線總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在

【解析】試題分析：（1）由得，解得， ，，結合，即可求橢圓的方程；（2）先求得直線的斜率不存在及斜率為零時圓的方程，由此可得兩圓所過公共點為原點，當直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為代入橢圓方程消掉得的二次方程，設，由韋達定理、向量數量積可得的表達式，再根據線圓相切可得的關系式，代入上述表達式可求得，由此可得結論.

試題解析：（1）由題意得，所以， .由得，解得， ，

由，得， ，橢圓的方程為.

（2）假設存在這樣的圓.設， .

由已知，以為直徑的圓恒過原點，即，所以.

當直線垂直于軸時， ， ，所以，又，解得，

不妨設， 或， ，即直線的方程為或，此時原點到直線的距離為.

當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，解消去得方程：

，因為直線與橢圓交于， 兩點，所以方程的判別式

，即，且， .

由，得 ，

所以 ，整理得（滿足）.

所以原點到直線的距離.綜上所述，原點到直線的距離為定值，即存在定圓總與直線相切.