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已知函數f（x）=ax3+bx2+x+1（x，a，b∈R），若對任意實數x，f（x）≥0恒成立，則實數b的取值范圍是
[
1
4
，+∞）
[
1
4
，+∞）
．
分析：要使得f（x）≥0恒成立，結合已知函數解析式可知，只有讓a=0且二次函數開口向上且與x軸沒有交點，結合二次函的性質可求
解答：解：∵f（x）=ax3+bx2+x+1的定義域為R
當a≠0時，函數的值域為R與題意矛盾
故a=0
若使得f（x）≥0恒成立，即bx2+x+1≥0恒成立
則根據二次函數的性質可知
b＞0
△=1-4b≤0

∴b≥
1
4

故答案為：[
1
4
，+∞）
點評：本題主要考查了函數的恒成立為題的求解，解題的關鍵是靈活利用函數知識
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•海淀區二模）已知函數f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a|x|的圖象經過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a•2x+b•3x，其中常數a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數f（x）的單調性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數F（x）是奇函數；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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同步練習冊答案
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