Question

已知{a_n}是正數組成的數列，a₁＝1，且點()(n∈N*)在函數y＝x²＋1的圖象上．

(Ⅰ)求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅱ)若列數{b_n}滿足b₁＝1，b_n+1＝b_n＋2^an，求證：b_n·b_n+2＜b²_n+1．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(Ⅰ)由已知得an+1＝an＋1、即an+1－an＝1，又a1＝1， 　　所以數列{an}是以1為首項，公差為1的等差數列． 　　故an＝1＋(a－1)×1＝n． 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知：an＝n從而bn+1－bn＝2n． 　　bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1 　　＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1 　　＝＝2n－1． 　　因為bn·bn+2－b＝(2n－1)(2n+2－1)－(2n－1－1)2 　　＝(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1) 　　＝－5·2n＋4·2n 　　＝－2n＜0， 　　所以bn·bn+2＜b， 　　解法二： 　　(Ⅰ)同解法一． 　　(Ⅱ)因為b2＝1， 　　bn·bn+2－b＝(bn+1－2n)(bn+1＋2n+1)－b 　　＝2n+1·bn－1－2n·bn+1－2n·2n+1 　　＝2n(bn+1－2n+1) 　　＝2n(bn+2n－2n+1) 　　＝2n(bn－2n) 　　＝… 　　＝2n(b1－2) 　　＝－2n〈0， 　　所以bn－bn+2＜b2n+1 　　本小題主要考查等差數列、等比數列等基本知識，考查轉化與化歸思想，考查推理與運算能力．滿分12分．