Question

設函數f（x）=cos²x+asinx-

a

4

-

1

2

．
（1）當 0≤x≤

π

2

時，用a表示f（x）的最大值M（a）；
（2）當M（a）=2時，求a的值，并對此a值求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用cos²x=1-sin²x，將函數化為關于sinx的二次函數，對稱軸為

a

2

，進行分類求解．
（2）M（a）=2時，利用（1）求出a，繼而確定函數解析式，求最小值．

解答：解：（1）f（x）=1-sin²x+asinx-

a

4

-

1

2

=-（sinx-

a

2

）²+

a2

4

-

a

4

+

1

2

當 0≤x≤

π

2

時，0≤sinx≤1．
當

a

2

≤0時，即a≤0時，在sinx=0取最大值，M（a）=-

a

4

+

1

2

當0＜

a

2

＜1時，即0＜a＜2時，在sinx=

a

2

取最大值，M（a）=

a2

4

-

a

4

+

1

2

當1≤

a

2

＜1時，即a≥2時，在sinx=取最大值，M（a）=

3a

4

-

1

2

綜上所述M（a）=

- a 4 + 1 2 a≤0 a2 4 - a 4 + 1 2 0＜a＜2 3a 4 - 1 2 a≥2

（2）M（a）=2時，由（1）解得a=-6或a=

10

3

當a=-6時，f（x）=-（sinx+3）²+11，f（x）min=-5．
當a=

10

3

時，f（x）=-（sinx-

5

3

）²+

22

9

，f（x）min=-

1

3

．

點評：本題主要考查二次函數圖象與性質，分類討論思想，方程思想．屬于中檔題．