Question

過橢圓左焦點F，傾斜角為

π

3

的直線交橢圓于A，B兩點，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為

2

3

．

Answer 1

分析：先確定|AF|、|BF|，再利用橢圓的第二定義，結合AB傾斜角為60°，可得結論．

解答：解：設準線與x軸交點為M，過A、B作準線的垂線，垂足分別為D、C，過B作BH⊥AD，垂足為H，交x軸于E．
設|AB|=3t，因為|FA|=2|FB|，則|BF|=t，|AF|=2t，
因為AB傾斜角為60°，所以∠ABH=30°，則|AH|=

1

2

|AB|=

3

2

t，
根據橢圓第二定義，可得|AH|=|AD|-|BC|=

2t

e

-

t

e

=

t

e

，
∴

3

2

t=

t

e

∴e=

2

3

，
故答案為：

2

3

．

點評：本題與直線的傾斜角的性質相結合，考查橢圓的基本性質，考查橢圓的第二定義，考查學生的計算能力．