Question

（2012•湖北模擬）已知PA⊥矩形ABCD所在平面，PA=AD=

2

AB，E為線段PD上一點．
（1）當E為PD的中點時，求證：BD⊥CE；
（2）是否存在E使二面角E-AC-D為30°？若存在，求

PE

ED

，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）不妨設AB=

2

，則PA=AD=2，取AD的中點F，連EF，CF，則△BCD∽△CDF，從而可證BD⊥CF，根據EF∥PA，PA⊥平面ABCD，可得EF⊥平面ABCD，從而可證BD⊥CE；
（1）作EG⊥AD于G，過G作GH⊥AC于H，連EH，則∠EHG為二面角E-AC-D的平面角，設EG=x，則DG=x，可求HG=

2-x

3

，利用二面角E-AC-D為30°，可知存在點E滿足條件，且

PE

ED

=3

解答：（1）證明：不妨設AB=

2

，則PA=AD=2，取AD的中點F，連EF，CF．
則△BCD∽△CDF，∴∠DBC=∠DCF
∴∠DBC+∠BCF=∠DCF+∠BCF=90°
∴BD⊥CF
又EF∥PA，PA⊥平面ABCD
∴EF⊥平面ABCD
故由三垂線定理知BD⊥CE（5分）
（2）作EG⊥AD于G，過G作GH⊥AC于H，連EH，
則EH⊥AC，所以∠EHG為二面角E-AC-D的平面角．
設EG=x，則DG=x，
∴AG=2-x，又

HG

CD

=

AG

AC

，
∴

HG

2

=

2-x

6

，∴HG=

2-x

3

，
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

3 x

2-x

=

3

3

，∴x=

1

2

，
所以存在點E滿足條件，且

PE

ED

=3（7分）

點評：本題考查線線垂直，考查線面角，考查存在性問題，解題的關鍵是利用三垂線定理，正確作出面面角．