Question

若各項都是實數的數列從第二項起，每一項與它前一項的平方差是同一常數，則稱該數列為等方差數列，這個常數叫這個數列的公方差．
（Ⅰ）若數列{a_n}是等差數列，前n項和為T_n，并且，求通項a_n；
（Ⅱ）若數列{a_n}是首項為2，公方差為2的等方差數列，數列{b_n}的前n項和為S_n，且．對?n∈N^*恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）
∴a_n[a_n-（2n-1）]=0
∴a_n=2n-1，或a_n=0
（Ⅱ）由{a_n}是首項為2，公方差為2的等方差數列，即為首項為4，公差為2的等差數列，
∴
由得
∴①；②
①-②可得
∴
不等式即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4
也即（m-3）•2ⁿ＜3n+1，即需要恒成立
由于n=1，2，3時，3n+1＞2ⁿ；n=4時，3n+1＜2ⁿ；
假設n=k（k≥4）時，3k+1＜2^k，
那么2^k+1=2•2^k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
歸納知：n≥4時，3k+1＜2^k，，∴m-3≤0，
故m的取值范圍為m≤3
分析：（Ⅰ）利用，根據新定義，可求通項a_n；
（Ⅱ）由{a_n}是首項為2，公方差為2的等方差數列，即為首項為4，公差為2的等差數列，從而可求數列{b_n}的前n項和為S_n，從而不等式即3•2ⁿ-（n+3）＞m•2ⁿ-4n-4，分離參數可得恒成立，利用歸納法，可求m的取值范圍．
點評：本題考查新定義，等差數列的性質、通項、前n項和公式，錯位相減法求和，恒成立，數學歸納法，探索分析和推理解決問題的能力．