Question

函數f（x）=x²-mln+mx-2m，其中m＜0．
（Ⅰ）試討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）已知當m≤-（其中e是自然對數的底數）時，在x∈（-，]至少存在一點x，使f（x）＞e+1成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當m=-1時，對任意x₁，x₂∈（0，1），x₁≠x₂，有＜．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函數的定義域，并求出f′（x）=0時x的值，在定義域內取m的值討論導函數的正負決定函數的增減性，得到函數的單調區間即可；
（Ⅱ）在x∈（-，]至少存在一點x，使f（x）＞e+1成立，只需求出f（x）的最大值大于e+1即可求出m的范圍．所以在根據第一問函數的增減性得到在x∈（-，]區間f（x）的最大值即可；
（Ⅲ）把m=-1代入求出f（x），然后構造輔助函數g（x）=f（x）-x，求出g′（x）并討論得到g（x）在（0，1）為減函數，對任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂．即f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）解出即可得證．
解答：解：（Ⅰ）易知f（x）的定義域為x∈（-，+∞）．
f′（x）=x-+m==．
由f′（x）=0得：x=0或x=-m-．
∵m＜0，∴-m-∈（-，+∞）．
∴（1）當-≤m＜0時，則x∈（-，-m-）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（-m-，0）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．
（2）當m＜-時，則x∈（-，0）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
x∈（0，-m-）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
x∈（-m-，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數．

（Ⅱ）在x∈（-，]上至少存在一點x，使f（x）＞g+1成立，
等價于當x∈（-，]時，f（x）_max＞g+1．
∵m≤-，∴≤-m-．
由（Ⅰ）知，x∈（-，0]時，f（x）為增函數，x∈[0，）時，f（x）為減函數．
∴在x∈（-，]時，f（x）_max=f（0）=-2m．∴-2m＞g+1，即m＜．
檢驗，上式滿足m≤-，所以m＜是所求范圍．

（Ⅲ）當m=-1時，函數f（x）=x²+ln-x+2．
構造輔助函數g（x）=f（x）-x，并求導得g′（x）=x+-==
顯然當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）為減函數．
∴對任意0＜x₁＜x₂＜1，都有g（x₁）＞g（x₂）成立，即f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂．
即f（x₂）-f（x₁）＜（x₂-x₁）
即．又∵x₂-x₁＞0，∴．
點評：考查學生利用導數研究函數單調性的能力，理解函數的最值及幾何意義，掌握利用函數增減性證明不等式的方法．