Question

已知橢圓C：，F為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l：y=kx+m（km≠0）與橢圓C交于A、B兩點，若線段AB中點在直線x+2y=0上，求△FAB的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用F為其右焦點，過F垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2，建立方程組，求得幾何量，即可求得橢圓方程；
（2）直線l：y=kx+m（km≠0）與橢圓聯立，利用線段AB中點在直線x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及點F到直線AB的距離，表示出三角形的面積，利用求導數的方法，即可確定△FAB的面積的最大值．
解答：解：（1）由題意，解得，∴所求橢圓方程為．   …（4分）
（2）直線l：y=kx+m（km≠0）與橢圓聯立，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，…（5分）
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（6-m²）＞0，∴
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）P（x，y），由韋達定理得=，．
由點P在直線x+2y=0上，得k=1．                            …（7分）
所以|AB|==．
又點F到直線AB的距離．
∴△FAB的面積為=（|m|＜，m≠0）．…（10分）
設u（m）=（6-m²）（m+）²（|m|＜，m≠0），則令u′（m）=-2（2m+3）（m+）（m-）=0，可得m=-或m=-或m=；
當時，u′（m）＞0；當時，u′（m）＜0；
當時，u′（m）＞0；當時，u′（m）＜0
又u（）=，
所以當m=時，△FAB的面積取最大值…（12分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查利用導數的方法求函數的最值，屬于中檔題．