Question

已知函數，實數a∈R且a≠0．
（1）設mn＞0，判斷函數f（x）在[m，n]上的單調性，并說明理由；
（2）設0＜m＜n且a＞0時，f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a²f（x）|≤2x對x≥1恒成立，求a的范圍．

Answer 1

解：（1）設m≤x₁＜x₂≤n，則，
∵mn＞0，m≤x₁＜x₂≤n，∴x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），因此函數f（x）在[m，n]上的單調遞增．
（2）由（1）及f（x）的定義域和值域都是[m，n]得f（m）=m，f（n）=n，
因此m，n是方程的兩個不相等的正數根，
等價于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個不等的正數根，
即，
解得，∴，
∵，∴時，n-m最大值為．
（3），則不等式|a²f（x）|≤2x對x≥1恒成立，
即即不等式對x≥1恒成立，
令h（x）=，易證h（x）在[1，+∞）遞增，同理[1，+∞）遞減．
∴h（x）_min=h（1）=3，g（x）_max=g（1）=-1，
∴∴且a≠0
分析：（1）根據函數單調性的定義先設m≤x₁＜x₂≤n，然后判定f（x₁）-f（x₂）的正負，從而確定函數f（x）在[m，n]上的單調性；
（2）由（1）及f（x）的定義域和值域都是[m，n]，則m，n是方程的兩個不相等的正數根，等價于方程a²x²-（2a²+a）x+1=0有兩個不等的正數根，利用根與系數的關系即可求出n-m的最大值；
（3），則不等式|a²f（x）|≤2x對x≥1恒成立，令h（x）=，易證h（x）在[1，+∞）遞增，同理[1，+∞）遞減，求出函數h（x）_min，與函數g（x）_max，建立不等關系，解之即可求出a的范圍．
點評：本題主要考查了函數單調性的判斷與證明，以及函數恒成立問題和不等式的綜合，同時考查了轉化與劃歸的思想，屬于綜合題．