Question

7．已知定義在實數集R上的函數f（x）滿足f（2）=9，且f（x）的導函數滿足f'（x）＜4，則不等式f（lnx）＞4lnx+1的解集為（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （e²，+∞）
• C． （-∞，e²）
• D． （0，e²）

Answer 1

分析 設t=lnx，則不等式f（lnx）＞4lnx+1等價為f（t）＞4t+1，設g（x）=f（x）-4x-1，利用導數研究其單調性即可得出．

解答 解：設t=lnx，
則不等式f（lnx）＞4lnx+1等價為f（t）＞4t+1，
設g（x）=f（x）-4x-1，
則g′（x）=f′（x）-4，
∵f（x）的導函數f′（x）＜2，
∴g′（x）=f′（x）-4＜0，此時函數單調遞減，
∵f（2）=9，∴g（2）=f（2）-4×2-1=9-9=0，
則當x＜2時，g（x）＞g（2）=0，
即g（x）＞0，則此時g（x）=f（x）-4x-1＞0，
即不等式f（x）＞4x+1的解為x＜2，
即f（t）＞4t+1的解為t＜2，
由lnx＜2，解得0＜x＜e²，
即不等式f（lnx）＞4nx+1的解集為（0，e²），
故選：D．

點評 本題考查了通過構造函數利用導數研究函數的單調性解不等式的方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．