Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，當x＜0時，f′（x）cosx-f（x）sinx＞0，且f（-2）=0，則不等式f（x）cosx≥0的整數解是

-2，-1，0，1，2

．

Answer 1

分析：根據[f（x）cosx]′=f'（x）•cosx-sinx•f（x），據已知條件及導函數符號與函數單調性的關系判斷出f（x）cosx的單調性，容易得到函數f（x）cosx的兩個零點，根據函數的單調性求出不等式的整數解．

解答：解：設g（x）=f（x）cosx，
∵f（x）是定義在R上的偶函數，
故g（-x）=f（-x）cos（-x）=f（x）cosx=g（x），
∴g（x）是定義在R上的偶函數．
又當x＜0時，g'（x）=f'（x）cosx-sinxf（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上遞增，
于是偶函數g（x）在（0，+∞）遞減．
∵f（-2）=0，f（2）=0，
∴f（x）•cosx≥0的解集為[-2，2]，
所以滿足要求的整數有-2，-1，0，1，2．
故答案為：-2，-1，0，1，2．

點評：求抽象不等式的解集，一般能夠利用已知條件判斷出函數的單調性，再根據函數的單調性將抽象不等式轉化為具體函的不等式解之．