Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，CB=CD=2 

3

，AA₁=

3

，AB⊥BC，AC與BD交于點E．
（1）求證：BD⊥A₁C；
（2）求二面角A₁-BD-C₁的大小；
（3）求異面直線AD與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由四棱柱的結構牲，可得AC是A₁C在平面ABCD上的射影，及AC⊥BD，由三垂線定理可得BD⊥A₁C；
（2）連接A₁E，C₁E，我們根據二面角的定義可得∠A₁EC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角，解△A₁EC₁，即可求出二面角A₁-BD-C₁的大小；
（ 3）過B作BF∥AD交CD于F，則∠FBC₁為異面直線AD與BC所成角，解Rt△BCF，即可求出異面直線AD與BC所成角的余弦值．

解答：解：（1）∵棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁為直四棱柱，
∴AA₁⊥平面ABCD，
又AB=AD，CB=CD，
故△ABC≌△ADC
則∠BAC=∠DAC
故AE為等腰△BAD中頂角的角平分線
故AE⊥BD
即AC⊥BD，AC是A₁C在平面ABCD上的射影，由三垂線定理知A₁C⊥BD                              …（4分）
（2）連接A₁E，C₁E，
∵E為AC與BD的交點且AC⊥BD，
∴A₁E⊥BD，C₁E⊥BD，
∴∠A₁EC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角，…（6分）
∵AB⊥BC，
∴AD⊥DC，
∴∠A₁D₁C₁=∠ADC=90°，
又∵A₁D₁=AD=2，D₁C₁=DC=2

3

，A₁A=

3

，AC⊥BD，
∴A₁C₁=4，AE=1，EC=3，
∴A₁E=2，C₁E=2

3

，
在△A₁EC₁中，A₁C₁²=A₁E²+C₁E²，
∴∠A₁EC₁=90°，
∴二面角A₁-BD-C₁為90°                                …（10分）
（ 3）∵AD⊥DC，
∴AD⊥平面CD₁，過B作BF∥AD交CD于F，
則∠FBC₁為所求的角，BF⊥平面CD₁，
∵AD=AB=2，AD⊥DC，AC⊥BD，
∴CD=CB=2

3

，
∴∠BCD=60°，
在Rt△BCF中，BF=BCsin60°=3，
∵BC₁=

15

，
∴cos∠FBC₁=

BF

BC1

=

15

5

∴異面直線AD與BC所成角的余弦值為

15

5

                …（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，異面直線及其所在的角，其中（1）的關鍵是引入三垂線定理證明線面垂直；（2）的關鍵是確定∠A₁EC₁為二面角A₁-BD-C₁的平面角，（3）的關鍵是確定∠FBC₁為異面直線AD與BC所成角．