Question

設O為坐標原點，第一象限內的點M（x，y）的坐標滿足約束條件

2x-y-6≤0 x-y+2≥0

，

ON

=(a，b) (a＞0，b＞0)，若

OM

•

ON

的最大值為40，

5

a

+

1

b

的最小值為（　　）

• A．

  25

  6

• B．

  9

  4

• C．1
• D．4

Answer 1

分析：作出不等式對應的平面區域，利用z的幾何意義以及基本不等式的應用進行求解．

解答：解：∵

OM

•

ON

=ax+by，
∴設z=ax+by，則z的最大值為40．
作出不等式組的對應的平面區域如圖：（陰影部分）
由z=ax+by，得y=-

a

b

x+

z

b

，
由圖象可知當直線y=-

a

b

x+

z

b

，經過點A時，直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，
此時z最大（∵b＞0），
由

2x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=8 y=10

，
即A（8，10），
代入z=ax+by，得40=8a+10b，
即

a

5

+

b

4

=1，
∴

5

a

+

1

b

=（

5

a

+

1

b

）（

a

5

+

b

4

）=1+

1

4

+

5b

4a

+

a

5b

≥

5

4

+2

5b 4a • a 5b

=

5

4

+2×

1

2

=

9

4

，
當且僅當

5b

4a

=

a

5b

，即4a²=25b²，2a=5b時取等號，
∴

5

a

+

1

b

的最小值為

9

4

，
故選：B．

點評：本題主要考查線性規劃和基本不等式的基本應用，利用z的幾何意義是解決線性規劃的關鍵，注意利用數形結合來解決．