Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，AB=BC=PC=1，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB，點E為PA的中點．
（1）求異面直線AP與BC所成角的大小；
（2）求二面角C-BE-A 的大小．

Answer 1

分析：（1）求異面直線的夾角問題一般是平移直線或作異面直線的平行線，使之相交了放入某個三角形中求角即可．
（2）求二面角一般是先由其中一個平面內的點作另一個平面的垂線，作出二面角，接著證明此角既是二面角，最后求出角即可，即作角、證角、求角的過程．

解答：解：（1）∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PC⊥AB，
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，
∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，
∴AB⊥平面PCB過點A作AF∥BC，且AF=BC，連接PF、FC，
則∠PAF為異面直線PA與BC所成的角．
由題意可得AB⊥BC，∴CF⊥AF，
由三垂線定理，得PF⊥AF，則AF=CF=1，PF=

2

．
在Rt△PFA中，cos∠PAF=

AF

AP

=

1

3

=

3

3

，
∴異面直線PA與BC所成的角為arccos

3

3

．
（2）在△BCE中過點C作CG⊥BE，垂足為G，連接FA，
∵△CBE≌△ABE，
∴AG⊥BE，∴∠CGA為二面角C-BE-A的平面角，
在△CEB中BC=1，CE=BE=

3

2

，由面積相等得CG=

6

3

，同理AG=

6

3

，
在△CGA中，由余弦定理得，cos∠CGA=

CG2+AG2-AC2

2CG2

=-

1

2

，
所以二面角C-BE-A為120°．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，把空間幾何問題逐步轉化為平面問題，一般是利用解三角形的一個知識解決問題．