Question

6、對于滿足0≤p≤4的所有實數p，使不等式x²+px＞4x+p-3都成立的x的取值范圍是

x＞3或x＜-1

．

Answer 1

分析：把已知的不等式的右邊移項到左邊后，把p看作未知數，x為字母已知數，設不等式左邊為f（p），由x不等于1得到f（p）為p的一次函數，對于滿足0≤p≤4的所有實數p，使不等式x²+px＞4x+p-3都成立轉化為一次函數f（p）在0≤p≤4內恒大于0，即f（0）和f（4）都大于0，把p=0和p=4代入一次函數中列出關于x的兩個一元二次不等式，分別求出不等式的解集，再求出兩解集的交集即為滿足題意的x的取值范圍．

解答：解：原不等式化為：x²+（x-1）p-4x+3＞0
設f（p）=（x-1）p+x²-4x+3，
∵x-1≠0（否則原不等式不成立），
∴f（p）為一次函數，要使f（p）在0≤p≤4內恒大于0，
則有f（0）＞0且f（4）＞0，
即x²-4x+3＞0且x²-1＞0，
因式分解得：（x-1）（x-3）＞0且（x+1）（x-1）＞0，
解得：x＞3或x＜1且x＞1或x＜-1，
∴不等式x²+px＞4x+p-3都成立的x的取值范圍是x＞3或x＜-1．
故答案為：x＞3或x＜-1

點評：此題考查了其他不等式的解法，考查了函數的思想以及轉化的思想，是一道中檔題．