Question

20．已知p：方程x²+2mx+（m+2）=0有兩個不等的正根；q：方程$\frac{x^2}{m+3}-\frac{y^2}{2m-1}=1$表示焦點在y軸上的雙曲線．
（1）若q為真命題，求實數m的取值范圍；
（2）若“p或q”為真，“p且q”為假，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據雙曲線的標準方程進行求解即可．
（2）根據復合命題真假關系得到p，q兩命題應一真一假，進行求解即可．

解答 解：（1）由已知方程$\frac{x^2}{m+3}-\frac{y^2}{2m-1}=1$表示焦點在y軸上的雙曲線，
則$\left\{\begin{array}{l}{m+3＜0}\\{1-2m＞0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m＜-3}\\{m＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得m＜-3，即q：m＜-3．
（2）若方程x²+2mx+（m+2）=0有兩個不等的正根
則$\left\{{\begin{array}{l}{△=4{m^2}-4（{m+2}）＞0}\\ \begin{array}{l}-2m＞0\\ m+2＞0\end{array}\end{array}}\right.$，解得-2＜m＜-1，即p：-2＜m＜-1．
因p或q為真，所以p、q至少有一個為真．
又p且q為假，所以p，q至少有一個為假．
因此，p，q兩命題應一真一假，當p為真，q為假時，$\left\{{\begin{array}{l}{-2＜m＜-1}\\{m≥-3}\end{array}}\right.$，解得-2＜m＜-1；
當p為假，q為真時，$\left\{{\begin{array}{l}{m≤2或m≥-1}\\{m＜-3}\end{array}}\right.$，解得m＜-3．
綜上，-2＜m＜-1或m＜-3．

點評 本題主要考查復合命題的真假應用，根據條件求出命題為真命題的等價條件是解決本題的關鍵．