Question

已知一動圓M，恒過點F（1，0），且總與直線l：x=-1相切．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）探究在曲線C上，是否存在異于原點的A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，當y₁y₂=-16時，直線AB恒過定點？若存在，求出定點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因為動圓M，過點F（1，0）且與直線l：x=-1相切，所以圓心M到F的距離等于到直線l的距離．由此能得到所求的軌跡方程．
（2）假設存在A，B在y²=4x上，所以，直線AB的方程：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，令y=0，得x=4，所以，無論y₁，y₂為何值，直線AB過定點（4，0）．

解答：解：（1）因為動圓M，過點F（1，0）且與直線l：x=-1相切，所以圓心M到F的距離等于到直線l的距離．
所以，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線，且

p

2

=1，p=2，
所以所求的軌跡方程為y²=4x（5分）
（2）假設存在A，B在y²=4x上，
所以，直線AB的方程：y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，即y-y1=

y2-y1

y22 4 - y12 4

(x-

y12

4

)（7分）
即AB的方程為：y-y1=

4

y1+y2

(x-

y12

4

)，即（y₁+y₂）y-y₁²-y₁y₂=4x-y₁²
即：（y₁+y₂）y+（16-4x）=0，（10分）
令y=0，得x=4，
所以，無論y₁，y₂為何值，直線AB過定點（4，0）（12分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．