Question

對任意x∈R，函數f（x）的導數存在，若f′（x）＞f（x）且a＞0則e^a•f（0）與f（a）的大小關系為：e^a•f（0）

＜

f（a）（用≤，≥，＜，＞之一填空）．

Answer 1

分析：由f′（x）＞f（x）可得f'（x）-f（x）＞0，而由e^-x[f′（x）-f（x）]＞0可判斷函數e^-xf（x）是單調遞增函數，結合a＞0可求．

解答：解：∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）-f（x）＞0，
又∵e^-x＞0，∴e^-x[f′（x）-f（x）]＞0
∴e^-xf′（x）-e^-xf（x）＞0
而[e^-xf（x）]′=（e^-x）′f（x）+e^-xf′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）＞0
∴函數F（x）=e^-xf（x）是單調遞增函數，又∵a＞0
所以F（a）＞F（0），即e^-af（a）＞e^-0f（0）=f（0）
變形可得：e^af（0）＜f（a），
故答案為：＜

點評：本題考查導數的基本運算及利用導數判斷函數的單調性，觀察和利用e^-xf（x）的導函數的形式是解決問題的關鍵，屬基礎題．