Question

已知數列{a_n}（n∈N^*）滿足：a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）．定義：使a₁a₂…a_k為整數的k值（k∈N^*）叫“理想數”，則區間[1，2009]內所有“理想數”的和是________．（注：必要時可利用公式）

Answer 1

2026
分析：根據換底公式：，把a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）代入a₁a₂…a_k并且化簡轉化為 為整數m，即k+2=2^m，
m∈N*，令m=1，2，3，…，10，可求得區間[1，2009]內的所有“理想數“的和．
解答：根據換底公式：，把a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*）代入a₁a₂…a_k有
=m，m∈N*，
∴k+2=2^m，m∈N*．
k分別可取2²-2，2³-2，2⁴-2…，最大值2^m-2≤2009，m最大可取10，
故和為（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=2026．
故答案為：2026．
點評：考查數列的綜合應用及對數的換底公式，把a₁a₂…a_k化簡轉化為對數的運算，體現了轉化的思想，屬中檔題．