Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求點C到平面A₁AB的距離．

Answer 1

分析：（1）BC⊥AC，根據(jù)A₁D⊥底ABC，得到A₁D⊥BC，A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，從而BC⊥AC₁，又因BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AC₁⊥底A₁BC；
（2）作DE⊥AB于點E，連A₁E作DF⊥A₁E，A₁D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A₁D=D，滿足線面垂直的判定定理則AB⊥平面A₁DE，又DF?面A₁DE，所以AB⊥DF，A₁E∩AB=E，DF⊥平面A₁AB，在Rt△A₁DE中，從而求出DF的長度，而D是AC中點，所以C到面A₁AB距離是2DF．

解答：證明：（1）∠BCA=90°得BC⊥AC，因為A₁D⊥底ABC，
所以A₁D⊥BC，（2分）A₁D∩AC=D，所以BC⊥面A₁AC，
所以BC⊥AC₁（3分）
因為BA₁⊥AC₁，BA₁∩BC=B，
所以AC₁⊥底A₁BC（1分）
解：（2）作DE⊥AB于點E，連A₁E作DF⊥A₁E，
因為A₁D⊥平面ABC，所以A₁D⊥AB，DE⊥AB，DE∩A₁D=D，
所以AB⊥平面A₁DE，（2分）
又DF?面A₁DE，所以AB⊥DF，A₁E∩AB=E，
所以DF⊥平面A₁AB，（2分）Rt△A₁DE中，DF=

A1D•DE

A1E

=

21

7

，
因為D是AC中點，所以C到面A₁AB距離

2 21

7

．（2分）

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及點到面的距離等有關(guān)知識，同時考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．