Question

如圖，雙曲線C₁：與橢圓C₂：（0＜b＜2）的左、右頂點分別為A₁、A₂第一象限內的點P在雙曲線C₁上，線段OP與橢圓C₂交于點A，O為坐標原點．
（I）求證：為定值（其中表示直線AA₁的斜率，等意義類似）；
（II）證明：△OAA₂與△OA₂P不相似．
（III）設滿足{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R} 的正數m的最大值是b，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出A₁A₂的坐標，再設出A、P的坐標，利用兩點連線的斜率公式結合兩圓錐曲線的方程，將進行化簡，可證出為定值-1；
（II）設，可得P（x，y），A（tx，ty），將此坐標分別代入橢圓和雙曲線方程，聯解可將OA•OP-OA₂²這個式子化簡為關于t的函數f（t），利用函數f（t）為單調減函數的性質，可證出故：△OAA₂與△OA₂P不相似．
（III）將雙曲線方程與子集中的方程聯解，化簡得，因此對任意y不等于零，均有，故，可得m²≤3成立，因此因此b的值為．
解答：（I）解：由已知得A₁（-2，0），A₂（2，0）．
設A（x₁，y₁），P（x₂，y₂），由題意知A、P均在第一象限，
且滿足，．
則=…（3分）
而Q、O、A、P在同一直線上，所以x₁y₂=x₂y₁
故…（4分）
（II）證明：設，P（x，y），則A（tx，ty）且，
解之得：，且…（6分）
OA•OP-OA₂²=tOP²-OA₂²=，其中0＜t＜1
所以f′（t）=恒成立，，函數f（t）在區間（0，1）上是減函數，
因此當0＜t＜1時，f（t）＞f（1）=，即
故：△OAA₂與△OA₂P不相似．…（9分）
（III）解：由得，由得．
∴{（x，y）|，x∈R，y∈R}⊆{（x，y）|，x∈R，y∈R}
因此?y≠0，??m²≤3所以b=
因此b的值為…（13分）
點評：本題考查了圓方程、直線方程、圓錐曲線的基本量和圓與圓錐曲線的關系等知識點，屬于難題．解決本題一方面要求對圓方程、直線方程、圓錐曲線的方程有熟悉的理解，另一方面要求對含有字母的代數式化簡、計算要精確到位，具有較強的綜合性．