Question

（2013•太原一模）選修4一1：幾何證明選講
如圖，⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P．E為⊙O上一點，

AC

=

AE

，DE交AB于點F．
（I）證明：DF•EF=OF•FP；
（II）當AB=2BP時，證明：OF=BF．

Answer 1

分析：（I）利用弧長相等，轉化為角相等，通過三角形相似證明：DF•EF=OF•FP；
（II）設BP=a，ly AB=2BP，通過相交弦定理以及數量關系的轉化證明：OF=BF．

解答：.（I）證明：因為

AC

=

AE

，∴∠AOE=∠CDE，∴∠EOF=∠PDF，
又∠EFO=∠PFD，
∴△OFE∽△PFD，∴

OF

DF

=

EF

PF

，
∴DF•EF=OF•FP；
（II）設BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，
由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，
∴AF•BF=OF•FP，
∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．

點評：本題考查直線與圓的關系，三角形相似以及相交弦定理的應用，考查計算能力與轉化思想的應用．