Question

設數列{a_n}滿足a1=0，4an+1=4an+2

4an+1

+1，令bn=

4an+1

．
（1）試判斷數列{b_n}是否為等差數列？并求數列{b_n}的通項公式；
（2）令Tn=

b1×b3×b5×…×b(2n-1)

b2×b4×b6×…b2n

，是否存在實數a，使得不等式Tn

bn+1

＜

2

log2(a+1)對一切n∈N^*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）比較bnbn+1與bn+1bn的大小．

Answer 1

（1）由已知得an+1+

1

4

=(an+

1

4

)+

an+ 1 4

+

1

4

，
即4an+1+1=4an+1+2

4an+1

+1，（2分）
所以b_n+1²=b_n²+2b_n+1，即b_n+1=b_n+1，
又b₁=1，所以數列{b_n}為等差數列，
通項公式為b_n=n（n∈N^*）．
（2）令c_n=Tn

bn+1

，
由Tn=

b1×b3×b5××b(2n-1)

b2×b4×b6×b2n

，
得

cn+1

cn

=

1×3×5××(2n+1) 2×4×6××(2n+2) n+2

1×3×5××(2n-1) 2×4×6××2n n+1

=

2n+1

2n+2

×

n+2

n+1

=

(n+2)(2n+1)2 (2n+2)2(n+1)

=

4n3+12n2+9n+2 4n3+12n2+12n+4

＜1
所以，數列{c_n}為單調遞減數列，（8分）
所以數列{c_n}的最大項為c1=

2

2

，
若不等式Tn

bn+1

＜

2

log2(a+1)對一切n∈N^*都成立，只需

2

2

＜

2

log2(a+1)，
解得a＞

2

-1，
又a＞0，a≠1，
所以a的取值范圍為(

2

-1，1)∪(1，+∞)．（12分）
（3）問題可轉化為比較nⁿ⁺¹與（n+1）ⁿ的大小．
設函數f(x)=

lnx

x

，所以f′(x)=

1-lnx

x2

．
當0＜x＜e時，f'（x）＞0；
當x＞e時，f'（x）＜0．所以f（x）在（0，e）上為增函數；在（e，+∞）上為減函數．
當n=1，2時，顯然有nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
當n≥3時，f（n）＞f（n+1），即

lnn

n

＞

ln(n+1)

n+1

，
所以（n+1）lnn＞nln（n+1），即lnnⁿ⁺¹＞ln（n+1）ⁿ，
所以nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ．
綜上：當n=1，2時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，即bnbn+1＜bn+1bn；
當n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ即bnbn+1＞bn+1bn．（16分）