Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點．將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D-ABCE．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面ADE．
（ II）求BD和平面ADE所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E為CD的中點．
∴AE=BE=，AB=2，
∴AE⊥BE，
又∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE．…（6分）
（II）解：因為（Ⅰ）BE⊥平面ADE，連接EB，
所以BD和平面ADE所成角就是∠BDE，
DE=1，BE=，
BD和面CDE所成角的正弦值為：=…（6分）
分析：（Ⅰ）在矩形ABCD中，求出AE=BE=，AB=2，說明AE⊥BE，然后證明BE⊥平面ADE．
（II）通過直線與平面垂直，找出BD和平面ADE所成角，然后求出所成角的正切值．
點評：本題考查直線與平面垂直，折疊問題，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，計算能力．