Question

計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm²，畫面的寬與高的比為λ（λ＜1），畫面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎樣確定畫面的高與寬尺寸，能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求λ∈[

2

3

，

3

4

]，那么λ為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最小？

Answer 1

分析：設畫面高為xcm，寬為λxcm，則依題意可求得宣傳畫面積的表達式，設紙張面積為S，根據題意得S=（x+16）（λx+10）把前面求得x代入，整理后，根據均值不等式求得S的最小值，進而求得此時的寬和高．如果λ∈[

2

3

，

3

4

]，根據求函數單調性的方法，設

2

3

≤λ1＜λ2≤

3

4

，求得S（λ₁）-S（λ₂）＜0，判斷出函數在[

2

3

，

3

4

]內單調遞增，進而可知λ=

2

3

時，S（λ）取得最小值．

解答：解：設畫面高為xcm，寬為λxcm，
則λx²=4840
設紙張面積為S，則有
S=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
將x=

22 10

λ

代入上式得
S=5000+44

10

(8

λ

+

5

λ

)
當8

λ

=

5

λ

，即λ=

5

8

(

5

8

＜1)時，
S取得最小值，
此時高：x=

4840 λ

=88cm，
寬：λx=

5

8

×88=55cm
如果λ∈[

2

3

，

3

4

]，
可設

2

3

≤λ1＜λ2≤

3

4

，
則由S的表達式得
S（λ₁）-S（λ₂）
=44

10

(8

λ1

+

5

λ1

-8

λ2

-

5

λ2

)
=44

10

(

λ1

-

λ2

)(8-

5

λ11λ2

)
由于

λ1λ2

≥

2

3

＞

5

8

，故8-

5

λ1λ2

＞0
因此S（λ₁）-S（λ₂）＜0，
所以S（λ）在區間[

2

3

，

3

4

]內單調遞增．
從而，對于λ∈[

2

3

，

3

4

]，
當λ=

2

3

時，S（λ）取得最小值
答：畫面高為88cm、寬為55cm時，
所用紙張面積最小；
如果要求λ∈[

2

3

，

3

4

]，當λ=

2

3

時，
所用紙張面積最小．

點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．在用均值不等式的時候要特別注意要驗證一下等號是否能取到．