Question

畫出以A（3，-1）、B（-1，1）、C（1，3）為頂點的△ABC的區域（包括各邊），寫出該區域所表示的二元一次不等式組，并求以該區域為可行域的目標函數z=3x-2y的最大值和最小值．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是線性規劃，處理的思路為：根據已知的可行域，給出對應的約束條件，處理的方法遵循“線定界，點定域”，再使用角點法，求出目標函數的最大值．

解答：解：如圖，連接點A、B、C，
則直線AB、BC、CA所圍成的區域為所求△ABC區域．
∵直線AB的方程為x+2y-1=0，
BC及CA的直線方程分別為x-y+2=0，2x+y-5=0．
在△ABC內取一點P（1，1），分別代入x+2y-1，x-y+2，2x+y-5得：
+2y-1＞0，x-y+2＞0，2x+y-5＜0．
因此所求區域的不等式組為

x+2y-1≥0 x-y+2≥0 2x+y-5≤0

作平行于直線3x-2y=0的直線系3x-2y=t（t為參數），即平移直線y=

3

2

x，
觀察圖形可知：
當直線y=

3

2

x-

1

2

t過A（3，-1）時，縱截距-

1

2

t最小．
此時t最大，t_max=3×3-2×（-1）=11；
當直線y=

3

2

x-

1

2

t經過點B（-1，1）時，縱截距-

1

2

t最大，
此時t有最小值為t_min=3×（-1）-2×1=-5．
因此，函數z=3x-2y在約束條件下的最大值為11，最小值為-5．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．