Question

函數的性質通常指函數的定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性、對稱性等，請選擇適當的探究順序，研究函數f(x)=

1-sinx

+

1+sinx

的性質，并在此基礎上填寫下表，作出f（x）在區間[-π，2π]上的圖象．

性質	理由	結論	得分
定義域
值域
奇偶性
周期性
單調性
對稱性
作圖

Answer 1

分析：由正弦函數的最大最小值，可得函數的定義域為R；由平方法結合余弦函數的有界性，得到函數的值域為[

2

，2]；由函數周期性的定義加以驗證，得到函數的最小正周期為π；討論函數在區間[0，π]上的單調性，結合函數的周期可得函數在R上的單調區間；最后根據函數奇偶性的定義和軸對稱的有關公式，算出f（x）在其定義域上為偶函數，圖象關于直線x=

kπ

2

對稱．由此即可得到本題的答案．

解答：解：∵1-sinx≥0且1+sinx≥0，在R上恒成立
∴函數的定義域為R；
∵f2(x)=(

1-sinx

+

1+sinx

)2=2+2|cosx|
∴由|cosx|∈[0，1]，f²（x）∈[2，4]，可得函數的值域為[

2

，2]；
∵f(x+π)=

1+sinx

+

1-sinx

=f（x）
∴函數的最小正周期為π
∵當x∈[0，

π

2

]時，f(x)=

1-sinx

+

1+sinx

=2cos

x

2

，在[0，

π

2

]上為減函數
當x∈[

π

2

，π]時，f(x)=

1-sinx

+

1+sinx

=2sin

x

2

，在[

π

2

，π]上為增函數
∴f（x）在[kπ-

π

2

 ， kπ]上遞增，在[kπ ， kπ+

π

2

]上遞減（k∈Z）
∵f（-x）=f（x）且f(

π

2

-x)=f(

π

2

+x)，
∴f（x）在其定義域上為偶函數，結合周期為π得到圖象關于直線x=

kπ

2

對稱
因此，可得如下表格：

性質	理由	結論	得分
定義域	-1≤sinx≤1	定義域R	1分
值域	y2=2+2|cosx|∈[2，4]	值域[ 2  ， 2]	2分
奇偶性	f（-x）=f（x）	偶函數	1分
周期性	f（x+π）=f（x）	周期T=π	2分
單調性	f(x)= 2cos x 2     x∈[0 ，  π 2 ] 2sin x 2     x∈[ π 2  ， π]	在[kπ- π 2  ， kπ]上遞增， 在[kπ ， kπ+ π 2 ]上遞減（k∈Z）	2分
對稱性	f（-x）=f（x），f( π 2 -x)=f( π 2 +x)，…	關于直線x= kπ 2 對稱（k∈Z）	2分
作圖			2分

點評：本題給出根號下含有三角函數式的函數，求函數的單調性、周期性、奇偶性，并求函數的單調區間和值域．著重考查了三角函數的值域、正余弦函數的圖象與性質和函數圖象對稱軸的求法等知識，屬于中檔題．