Question

【題目】已知拋物線，且過拋物線焦點作直線交拋物線所得最短弦長為，過點作斜率存在的動直線與拋物線交于兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）若過點作軸的垂線，則軸上是否存在一點，使得直線與直線的交點恒在一條直線上？若存在，求該點的坐標及該定直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在定直線，此時

【解析】

（1）設出直線方程，與拋物線方程聯立，結合拋物線的定義求出弦長的表達式，根據題意求出拋物線的方程；

（2）設，，根據三點共線，結合斜率公式，可得的關系，利用解方程組，求出直線與直線的交點的坐標，最后可以求出定直線，以及點坐標.

（1）拋物線的焦點坐標為：，過該焦點的直線方程為：，與拋物線方程聯立得：設直線與拋物線的交點為：

，所以有，而由拋物線的定義可知：

，因為，所以當時，有最小值，所以，所以拋物線方程為.

（2）設，，由三點共線，

得，

直線的斜率，直線的方程為，

直線的方程為，設直線與直線的交點為，

聯立，，

，

當時，，

故存在定直線，此時.