Question

已知偶函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（2）=0，解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0．

Answer 1

分析：利用偶函數的性質f（-x）=f（x）=f（|x|）及其單調性與已知f(log2(x2+5x+4))≥f(2)．可得|log2(x2+5x+4)|≥2，化為log2(x2+5x+4)≥2或log2(x2+5x+4)≤-2．再利用對數的單調性可得x²+5x+4≥2²或0＜x²+5x+4≤2^-2，再利用一元二次不等式的解法即可．

解答：解：∵不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0．且f（2）=0，
∴f(log2(x2+5x+4))≥f(2)．
∵偶函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴|log2(x2+5x+4)|≥2，
∴log2(x2+5x+4)≥2或log2(x2+5x+4)≤-2．
∴x²+5x+4≥2²或0＜x²+5x+4≤2^-2，
解得x≥0或x≤-5，或

x＞-1或x＜-4 -5- 10 2 ≤x≤ -5+ 10 2

，
∴原不等式的解集為{x|x≥0或x≤-5或-1＜x≤

-5+ 10

2

或

-5- 10

2

≤x＜-4}

點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性、一元二次不等式的解法等基礎知識與基本方法，屬于中檔題．