Question

13．一個正三角形等分成4個全等的小正三角形，將中間的一個正三角形挖掉（如圖1），再將剩余的每個正三角形分成4個全等的小正三角形，并將中間的一個正三角形挖掉，得圖2，如此繼續下去…
（1）圖3共挖掉多少個正三角形？
（2）設原正三角形邊長為a，第n個圖形共挖掉多少個正三角形？這些正三角形面積和為多少？

Answer 1

分析 （1）圖（3）共挖掉正三角形個數為1+3+3×3=13；
（2）求出${a_n}={3^{n-1}}$，即可得出結論．

解答 解：（1）圖（3）共挖掉正三角形個數為1+3+3×3=13；…（4分）
（2）設第n次挖掉正三角形個數為a_n，則a₁=1，a₂=3，由已知，a_n+1=3a_n…（6分）
從而${a_n}={3^{n-1}}$…（8分）
第n個圖形共挖掉正三角形個數為${a_1}+{a_2}+…+{a_n}=1+3+…+{3^{n-1}}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$，…（10分）
這些正三角形面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}[\frac{1}{4}{a_1}+{（\frac{1}{4}）^2}{a_2}+…+{（\frac{1}{4}）^n}{a_n}]$=$\frac{{\sqrt{3}}}{16}{a^2}[1+（\frac{3}{4}）+…+{（\frac{3}{4}）^{n-1}}]=\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}[1-{（\frac{3}{4}）^n}]$．…（14分）

點評 本題考查合情推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．