Question

已知

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，且f(x)=

a

•

b

-1．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調增區間；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求函數f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由三角函數公式可得f(x)=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）由此可求解，
（2）利用（1）的結論可知函數在給定區間[0，

π

2

]上的單調性，即可獲得最大最小值．

解答：解：（1）因為

a

=(2sinx，cosx)，

b

=(

3

cosx，2cosx)，
所以f(x)=

a

•

b

-1=2

3

sinxcosx+2cos2x-1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）．
所以f（x）的最小正周期為T=

2π

2

=π，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z解得
kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，即單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z
（2）由（1）可知f（x）在區間[0，

π

6

]上單調遞增，在[

π

6

，

π

2

]上單調遞減，
故當x=

π

6

時，f（x）取到最大值f（

π

6

）=2；當x=

π

2

時，f（x）取到最大值f（

π

2

）=-1．

點評：本題為三角函數與向量的綜合應用，準確記住公式是解決問題的關鍵，屬中檔題．