Question

已知拋物線D的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合．
（1）求拋物線D的方程；
（2）已知直線l過點P（4，0）交拋物線于A，B兩點，是否存在垂直于x軸的直線x=m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出直線x=m的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意，可設拋物線方程為y²=2px（p＞0）
橢圓中a²-b²=4-3=1，得c=1，∴拋物線的焦點為（1，0），
∴=1，∴p=2，
∴拋物線D的方程為y²=4x；
（2）設A（x₁，y₁），則圓心M（，），
過M作直線x=m的垂線，垂足為E，設直線m與圓M的一個交點為G，可得：|EG|²=|MG|²-|ME|²，
即|EG|²=|MA|²-|ME|²=-（-m）²=++m（x₁+4）-m²
=（m-3）x₁+4m-m²，
當m=3時，|EG|²=3，此時直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值2
因此存在直線x=3滿足題意．
分析：（1）確定橢圓的幾何量，求出拋物線的焦點坐標，即可得到拋物線D的方程；
（2）確定M的坐標，過M作直線x=a的垂線，垂足為E，故|EG|²=|MG|²-|ME|²，由此即可求得結論．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解，屬于中檔題．