Question

設橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點作軸，垂足為，點在的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點的軌跡的方程；
（3）設直線（點不同于）與直線交于點，為線段的中點，試判斷直線與曲線的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）;（2）;（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據橢圓的幾何性質求出橢圓標準方程中的；（2）用設點、建立兩個動點之間坐標的關系和代入已知曲線方程的方法求出動點軌跡方程；（3）先利用三點共線建立與的坐標關系，再根據為線段的中點求出的坐標表達式，進一步求出直線的方程，最后根據曲線圓心到直線的距離與半徑的大小情況判斷其位置關系.
試題解析：（1）由題意可得，，∴，         2分
∴，所以橢圓的方程為．       4分
（2）設，，由題意得，即，    6分
又，代入得，即．
即動點的軌跡的方程為．           8分
（3）設，點的坐標為，∵三點共線，∴，
而，，則，∴，
∴點的坐標為，點的坐標為，      10分
∴直線的斜率為，
而，∴，∴，       12分
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切．          14分