Question

（2012•江西模擬）在銳角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，

m

=（2b-c，ccosC），

n

=（a，cosA），且

m

∥

n

．
（1）求角A的大小；
（2）求函數y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

n

，得（2b-c）cosA-acosC=0，再利用正弦定理及三角函數的恒等變換可得2sinBcosA=sinB，根據銳角三角形ABC中，sinB＞0，可得cosA=

1

2

，從而求得A的值．
（2）在銳角三角形ABC中，∠A=

π

3

，故

π

6

＜B＜

π

2

，利用三角函數的恒等變換化簡函數y的解析式為1+sin（2B-

π

6

），
再根據正弦函數的定義域和值域求出函數y的值域．

解答：解：（1）由

m

∥

n

，得（2b-c）cosA-acosC=0，…（2分）
∴（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0，2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）
=sin（π-B）=sinB．…（4分）
在銳角三角形ABC中，sinB＞0，
∴cosA=

1

2

，故有 A=

π

3

．…（6分）
（2）在銳角三角形ABC中，∠A=

π

3

，故

π

6

＜B＜

π

2

．…（7分）
∴y=2sin2B+cos(

π

3

-2B)=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B=1+sin(2B-

π

6

)．…（9分）
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2B-

π

6

)≤1，

3

2

＜y≤2，
∴函數y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域為(

3

2

，2]．…（12分）

點評：本題主要考查兩個向量數量積公式，三角函數的恒等變換以及正弦定理的應用，屬于中檔題．