Question

【題目】已知等差數(shù)列與數(shù)列滿足，，且.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）記，的前n項的和分別為，，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）令，可由求出，進而求出，得到等差數(shù)列的通項公式，于是有，構造數(shù)列，設，可變形得到，求出，即可得數(shù)列的通項公式．其它解法參考解析；

（2）要證，即證，根據(jù)的表達式可知其關于單調(diào)遞增，即證，再通過放縮法即可證出，多種放縮方式見解析．

（1）令有，所以，即，所以，即．由得，

設，則，可得，

又，故，則．

解法2：由，有，（），相減得

，（），

則，，……，，

相加得，則，（），

當時上式也成立．

又得，故．

解法3：由構造等比也可以．

（2）只需證．

由（1）有，所以，記為，

而，所以單調(diào)遞增，

有

只需證．

證法1：∵

故

．

證法2：

又

則

所以．

證法3：∵，

∴

．