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已知向量，
m
=（sinB，1-cosB），且向量
m
與向量
n
=（2，0）的夾角
π
3
，其中A、B、C是△ABC的內角．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA•cosC的取值范圍．
（1）由題意得，
m
•
n
=2sinB，
|
m
|=
sin2B+(1-cosB)2
=
2-2cosB
，
∵
m
與
n
的夾角為
π
3
，
∴cos
π
3
=
m
•
n
|
m
||
n
|
，即
1
2
=
2sinB
2
2-2cosB
，
化簡得，2sin2B=1-cosB，即2cos2B-cosB-1=0，
解得cosB=1或cosB=-
1
2
，
∵0＜B＜π，∴B=
2π
3
，
（2）由（1）得，B=
2π
3
，則A+C=π-
2π
3
=
π
3
，∴C=
π
3
-A，
∴cosA•cosC=cosA•cos（
π
3
-A）
=cosA（
1
2
cosA+
3
2
sinA）=
1
2
cos2A+
3
2
sinAcosA
=
1
2
•
1+cos2A
2
+
3
4
sin2A
=
1
2
(
3
2
sin2A+
1
2
cos2A)+
1
4

=
1
2
sin(2A+
π
6
)+
1
4

由C=
π
3
-A＞0得，0＜A＜
π
3
，則
π
6
＜2A+
π
6
＜
5π
6
，
∴
1
2
＜sin(2A+
π
6
)≤1，
則
1
2
＜
1
2
sin(2A+
π
6
)+
1
4
≤
3
4
，
故cosA•cosC的取值范圍是：(
1
2
，
3
4
]．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設角A，B，C是△ABC的三個內角，已知向量
m
=(sinA+sinC，sinB-sinA)，
n
=(sinA-sinC，sinB)，且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若向量
s
=(0，-1)，
t
=(cosA，2cos2
B
2
)，試求|
s
+
t
|的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•吉安縣模擬）已知在△ABC中，角A、B、C的對邊長分別為a、b、c，已知向量
m
=（sinA+sinC，sinB-sinA），
n
=（sinA-sinC，sinB），且
m
⊥
n
，
（1）求角C的大小；
（2）若a2=b2+
1
2
c2，試求sin（A-B）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
m
=(
3
sinx-cosx，1)，
n
=(cosx，
1
2
)，若f(x)=
m
•
n
．
（Ⅰ） 求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 已知△ABC的三內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，f(
A
2
+
π
12
)=
3
2
（A為銳角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•湖北模擬）已知向量，
m
=（sinB，1-cosB），且向量
m
與向量
n
=（2，0）的夾角
π
3
，其中A、B、C是△ABC的內角．
（1）求角B的大小；
（2）求cosA•cosC的取值范圍．

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同步練習冊答案
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