Question

已知函數f（x）=x³-ax²+3x，a∈R
（1）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的極值；
（2）若函數f（x）是R上的單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求f（x）的導數f′（x），當x=3時f′（x）=0，求得a的值，從而得f′（x）的解析式；再利用導函數的正負判定函數的增減性來求極值；
（2））由f（x）是R上的增函數，得f′（x）≥0恒成立，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax²+3x，a∈R，∴f′（x）=3x²-2ax+3；
又x=3是f（x）的極值點，∴27-6a+3=0，∴a=5；
當a=5時，f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），f（x）=x³-5x²+3x，
∴當x＜

1

3

時，f′（x）＞0，f（x）是增函數，當

1

3

＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）是減函數，
∴當x=

1

3

時，f（x）取得極大值

13

27

；又當x＞3時，f′（x）＞0，f（x）是增函數，
∴當x=3時，f（x）取得極小值-9；
（2））∵f（x）是R上的單調遞增函數，且f′（x）=3x²-2ax+3；
∴f′（x）≥0恒成立，即3x²-2ax+3≥0，
∴

4×3×3-4a2

4×3

≥0，解得-3≤a≤3，
∴a的取值范圍{a|-3≤a≤3}．

點評：本題考查了利用函數的導數來判定函數的單調性與求極值的問題，是中檔題．