Question

已知橢圓的中心在坐標原點，右焦點F的坐標為（3，0），直線l：x+2y-2=0交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為M（1，），
（1）求橢圓的方程；
（2）動點N滿足，求動點N的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓方程為（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點差法及線段AB中點，可得m=4n，與m-n=9聯立，即可得到橢圓的方程；
（2）由，x+2y=2，消元求出，因為，所以動點N的軌跡是以M為圓心，|AB|為直徑的圓，由此可得N的軌跡方程．
解答：解：（1）由題意設橢圓方程為（m＞n＞0，m-n=9），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
①，②
①-②，可得
因為線段AB中點，所以x₁+x₂=2，y₁+y₂=2
所以
所以m=4n，
因為m-n=9，所以m=12，n=3
所以橢圓的方程為（ 6分）
（2）由，x+2y=2，消元可得y²-y-1=0，則：
因為，所以動點N的軌跡是以M為圓心，|AB|為直徑的圓
所以，
所以N的軌跡方程為（6分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定圓的圓心與半徑．