Question

已知cos(

π

4

-α)=

3

5

，sin(

5π

4

+β)=-

12

13

，α∈(

π

4

，

3π

4

)，β∈(0，

π

4

)，求sin（α+β）．

Answer 1

分析：觀察發現，α+β=[（

5π

4

+β）-（

π

4

-α）-π，利用誘導公式與兩角差的正弦即可求得答案，注意coa（

5π

4

+β）與sin（

π

4

-α）的求值．

解答：解：∵

π

4

＜α＜

3π

4

，
∴-

π

2

＜

π

4

-α＜0，又cos（

π

4

-α）=

3

5

，
∴sin（

π

4

-α）=-

4

5

；
又∵0＜β＜

π

4

，
∴

5π

4

＜

5π

4

+β＜

3π

2

，又sin（

5π

4

+β）=-

12

13

，
∴coa（

5π

4

+β）=-

5

13

；
∴sin（α+β）=sin[（

5π

4

+β）-（

π

4

-α）-π]
=-sin[（

5π

4

+β）-（

π

4

-α）]
=-cos（

π

4

-α）sin（

5π

4

+β）+sin（

π

4

-α）coa（

5π

4

+β）
=-

3

5

×（-

12

13

）+（-

4

5

）×（-

5

13

）
=

56

65

．

點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，考查兩角差的正弦，求得α+β=[（

5π

4

+β）-（

π

4

-α）-π是關鍵，考查“湊角”的技巧，考查運算能力，屬于中檔題．