Question

如圖，底面為菱形的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為A₁B₁、B₁C₁的
中點，G為DF的中點．
（1）求證：EF⊥平面B₁BDD₁；
（2）過A₁、E、G三點平面交DD₁于H，求證：EG∥MA₁．

Answer 1

（1）因為E、F分別為A₁B₁、B₁C₁的中點，所以EF∥A₁C₁，
因為底面A₁B₁C₁D₁為菱形，所以A₁C₁⊥B₁D₁，所以EF⊥B₁D₁．
因為直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，
又因為EF?平面A₁B₁C₁D₁，所以DD₁⊥EF．
又B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁?平面B₁BDD₁，
DD₁?平面B₁BDD₁，所以EF⊥平面B₁BDD₁．
（2）延長FE交D₁A₁的延長線于點H，連接DH，
因為E、F分別為A₁B₁、B₁C₁的中點，
所以△EFB₁≌△EHA₁，所以HE=EF，
在△FDH中，因為G、E分別為DF、HF的中點，
所以GE∥DH．
又GE∉平面AA₁D₁D，DH⊆平面AA₁D₁D，
故EG∥平面AA₁D₁D．因為過A₁、E、G三點平面交DD₁于M，
所以面A₁MGE∩面AA₁D₁D=MA₁，EG⊆面A₁MGE，所以EG∥MA₁．
分析：（1）由E、F分別為A₁B₁、B₁C₁的中點，可得EF∥A₁C₁，由已知底面A₁B₁C₁D₁為菱形可得A₁C₁⊥DB，從而可得EF⊥DB①在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中易得DD₁⊥EF②由①②根據直線與平面垂直的判定定理可證
（2）延長FE交D₁A₁的延長線于點H，連接DH，可證 HE=EF，結合已知G、E分別為DF、HF的中點，可得GE∥DH．根據線面平行的判定定理可得EG∥平面AA₁D₁D．再由線面平行的性質定理可得EG∥MA₁．
點評：本題主要考查了直線與平面位置關系的兩種位置關系：直線與平面平行，直線與平面垂直，及線面關系與線線關系的相互轉化，熟練掌握基本定理、基本方法是解決本題的關鍵．