Question

已知三棱錐P-ABC的側棱PA，PB，PC兩兩垂直，下列結論正確的有    ．（寫出所有正確結論的編號）
①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB；
②由頂點P作三棱錐的高，其垂足是△ABC的垂心；
③△ABC可能是鈍角三角形；
④相對棱中點的連線相交于一點．

Answer 1

【答案】分析：①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，由線面直的性質可以證明；
②由頂點P作三棱錐的高，其垂足是△ABC的垂心，由題設條件驗證其是否是底面高線的交點即可；
③△ABC可能是鈍角三角形，由垂足的位置可以判決；
④相對棱中點的連線相交于一點，此點是底面高線上的點，由此可以判斷．
解答：解：①PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，由此條件可以得出，每一條棱都垂直于另外兩條棱所確定的平面，由線面垂直即可即出PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB故命題正確；
②由頂點P作三棱錐的高，其垂足是△ABC的垂心，由PA⊥BC，PB⊥AC，PC⊥AB，知三側棱在底面的射影一定垂直于對邊，故垂足是△ABC的垂心，命題正確；
③△ABC可能是鈍角三角形，③△ABC不可能是鈍角三角形，與實際圖形不相符；
④相對棱中點的連線相交于一點，可在圖形中用平行四邊形對角線相交且互相平分證明出相對棱中點的連線相交于一點，故此命題正確．
綜上知結論正確的有①②④
故答案為：①②④．
點評：本題考查棱錐的結構特征，解答本題的關鍵是對棱錐中點線面的位置關系有著比較熟悉的了解，且能通過其所知的特征判斷出一些結論．本題考查了空間想像能力以及推理論證的能力，綜合性較強