Question

已知函數f（x）=x³-3a|x-1|（a∈R）
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）在區間x∈[0，

3

]上的最值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x³-6|x-1|=

x3-6x+6，x≥1 x3+6x-6，x＜1

，f′(x)=

3x2-6，x≥1 3x2+6，x＜1

，令f′（x）＞0，得x＜1或x＞

2

，令f′（x）＜0，得1＜x＜

2

．結合x∈[0，

3

]，能求出f（x）在區間x∈[0，

3

]上的最值．
（2）由f（x）=x³-3a|x-1|=

x3-3ax+3a，x≥1 x3+3ax-3a，x＜1

，知f′(x)=

3x2-3a，x≥1 3x2+3a，x＜1

，分類討論能求出函數f（x）的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x³-6|x-1|=

x3-6x+6，x≥1 x3+6x-6，x＜1

，
∴f′(x)=

3x2-6，x≥1 3x2+6，x＜1

，
令f′（x）＞0，得x＜1或x＞

2

，
令f′（x）＜0，得1＜x＜

2

．
∵x∈[0，

3

]，
∴f（x）在[0，1]上單調遞增，在[1，

2

]上單調遞減，在[ 

2

，

3

]上單調遞增．
∵f（0）=-6，f(

2

) =2

2

-6

2

+6=6-4

2

＜-6，
∴f（x）_min=-6．
∵f（1）=1-6+6=1，f（

3

）=3

3

-6

3

+6=6-3

3

＜1，
∴f（x）_max=1．
（2）∵f（x）=x³-3a|x-1|=

x3-3ax+3a，x≥1 x3+3ax-3a，x＜1

，
∴f′(x)=

3x2-3a，x≥1 3x2+3a，x＜1

，
分類討論如下：
①當a=0時，∵f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）在實數集R上單調遞增；
②當a＞0時，
（i）當x＜1時，f′（x）=3x²+3a＞0，∴f（x）在（-∞，1）上遞增；
（ii）當x≥1時．令f′（x）=0，得x=

a

或x=-

a

（舍），比較

a

與1的大小，再分類如下：
當0＜a≤1時，∵f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上遞增；
當a＞1時，由f′（x）=3x²-3a＜0，得1＜x＜

a

；由f′（x）=3x²-3a≥0，得x＞

a

，
∴f（x）在（1，

a

）遞減，在(

a

，+∞)上遞增．
③當a＜0時，
此時，當x≥1時，f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上遞增；
當x＜1時，令f′（x）=0，得x=-

-a

或x=

-a

，
比較

-a

與1的大小，再分類討論如下：
（i）當

-a

＜1，即-1＜a＜0時，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得x∈(-∞，-

-a

)∪(

-a

，1)，
由f′（x）＜0，得x∈(-

-a

，

-a

)，
∴f（x）在(-∞-

a

)和(

-a

，1)上單調遞增，在(-

-a

，

-a

)上單調遞減；
（ii）當

-a

≥1，即a≤-1時，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得x∈(-∞，-

-a

)，
由f′（x）＜0，得x∈(-

-a

，1)，
∴f（x）在(-∞，-

a

)上單調遞增，在(-

-a

，1)上單調遞減．
綜上所述：
當a＞1時，f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（1，

a

）遞減，在(

a

，+∞)上遞增；
當0≤a＜1時，f（x）在R上單調遞增；
當-1＜a＜0時，f（x）在（-∞，-

-a

）上單調遞增，在(- 

-a

，

-a

)單調遞減，在（

-a

，+∞）單調遞增；
當a≤-1時，f（x）在(-∞，-

-a

)上單調遞增，在（-

-a

，1）上單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．

點評：本題考查函數最值的求法和函數的單調區間的討論．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．易錯點是分類不清導致出錯．