Question

如圖，函數g（x）=xf（x）+x³-1的圖象在點P處的切線方程是y=-

1

2

x-2，且f（x）也是可導函數，則f（-2）+f（-2）等于

 

．

Answer 1

分析：求出g（x）的導函數，由函數圖象可知切點P的橫坐標為-2，把x=-2代入導函數中得到一個關系式，記作（*），又把x=-2代入切線方程求出切點的縱坐標，確定出切點坐標，把求出的切點坐標代入g（x）中，即可求出f（-2）的值，然后把求出的f（-2）的值代入（*）中即可求出f′（-2）的值，進而求出f（-2）+f′（-2）的值．

解答：解：求導得：g′（x）=f（x）+xf′（x）+3x²，
把x=-2代入得：g′（-2）=f（-2）-2f′（-2）+12=-

1

2

（*），
把x=-2代入切線方程得：y=-1，
所以切點坐標為（-2，-1），即g（-2）=-2f（-2）-9=-1，
解得：f（-2）=-4，
把f（-2）=-4代入（*）得：-4-2f′（-2）+12=-

1

2

，
解得：f′（-2）=

17

4

，
則f（-2）+f′（-2）=-4+

17

4

=

1

4

．
故答案為：

1

4

點評：根據函數圖象得到切點P的橫坐標是本題的突破點，解此類題的思路是采用數形結合的思想．同時要求學生掌握求導法則及直線與曲線交點的特點，會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率．