Question

如圖，橢圓C：焦點(diǎn)在x軸上，左、右頂點(diǎn)分別為A₁，A，上頂點(diǎn)為B，拋物線C₁，C₂分別以A，B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，C₁與C₂相交于直線上一點(diǎn)P。

（1）求橢圓C及拋物線C₁，C₂的方程；
（2）若動(dòng)直線l與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M，N，已知點(diǎn)，求的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意，A（a，0），，
故拋物線C₁的方程可設(shè)為y²=4ax，C₂的方程為
由，得a=4，
所以橢圓C：，
拋物線C₁：y²=16x，拋物線C₂：。
（2）由（1）知，直線OP的斜率為
所以直線l的斜率為
設(shè)直線l方程為
由消去y，整理得
因?yàn)閯?dòng)直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)，
所以Δ=128b²-20（8b²-16）>0，
解得
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則
 

因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111212/201112121454473751649.gif">
所以
 

因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111212/201112121454475781037.gif">，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，
其最小值等于。