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證明：方程x·2^x=1至少有一個小于1的正根．

答案：
解析：

證明　　由閉區間上連續函數必有最大值和最小值的性質，設函數f(x)在[a，b]上連續，其最小值為m，最大值為M，若m＜c＜M，則在(a，b)上至少有一個x₀，使x=x₀時f(x)=c．

　　令f(x)=x·2^x-1且f(x)在[0，1]上連續，當x=0時，f(x)=-1＜0；當x=1時，f(x)=1×2-1=1＞0

　　又-1＜0＜1，所以在(0，1)內至少有一個x₀，使x=x₀時，f(x)=0，即至少有一個x₀，滿足0＜x₀＜1，且f(x₀)=0．

故方程x·2^x=1至少有一個小于1的正根

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）證明：函數f（x）=x+

在（0，

]上是減函數，在[

，+∞）上是增函數；
（2）試討論方程x+

=a，（x∈（1，2]，a∈R）的解的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（A類）定義在R上的函數y=f（x），對任意的a，b∈R，滿足f（a+b）=f（a）•f（b），當x＞0時，有f（x）＞1，其中f（1）=2
（1）求f（0）、f（-1）的值；（2）證明y=f（x）在（0，+∞）上是增函數；（3）求不等式f（x+1）＜4的解集．
（B類）已知定義在R上的奇函數f(x)=

-2x+b

2x+1+a

．
（1）求a，b的值；
（2）若不等式-m2+(k+2)m-

＜f(x)＜m2+2km+k+

對一切實數x及m恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）定義：若存在一個非零常數T，使得f（x+T）=f（x）對定義域中的任何實數x都恒成立，那么，我們把f（x）叫以T為周期的周期函數，它特別有性質：對定義域中的任意x，f（x+nT）=f（x），（n∈Z）．若函數g（x0是定義在R上的周期為2的奇函數，且當x∈（-1，1）時，g（x）=f（x）-x，求方程g（x）=0的所有解．

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科目：高中數學 來源： 題型：

當a＞0時，函數f（x）=a^x+

x-2

x+1

在（-1，+∞）是增函數，用反證法證明方程a^x+

x-2

x+1

=0沒有負數根．

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科目：高中數學 來源： 題型：044

證明：方程x·2^x=1至少有一個小于1的正根．

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